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plana ó plano, que está caracterizada porque á ella puede aplicarse una recta en cualquiera de sus puntos y en todas direcciones; ó, lo que viene á ser lo mismo, el plano tiene la propiedad de que la recta que pasa por dos de sus puntos coincide en toda su extensión con él. Un cristal llano bien pulimentado, y una hoja de papel bien tensa, pueden dar idea de la superficie plana.

Por una recta siempre puede pasar un plano, pero no uno sino infinitos; pues haciendo girar uno alrededor de la recta, tomará infinitas posi

ciones.

Una recta y un plano pueden tener un punto común, pero sólo uno sin confundirse: en tal caso la recta y el plano se dice que se cortan, y queda dividida la recta en dos segmentos que quedan á uno y otro lado del plano.

El plano, como superficie indefinida, divide el espacio en dos porciones ó regiones simétricas. La superficie plana, como la línea recta, es única en su clase; no hay variedad de planos; todos superpuestos, coinciden en toda su exten. sión.

Llámase figura plana aquella que tiene todos sus puntos en un mismo plano. La línea recta es esencialmente plana y divide al plano en que se encuentra en dos porciones superponibles, que se llaman regiones del plano respecto de la recta.

Determinación del plano. - Tres puntos A, By C (fig. 1), que no están en línea recta, determinan la posición de un plano; ó lo que es lo mismo, por tres puntos A, By C, que no están en línea recta, puede pasar un plano, pero no puede pasar más que uno solo.

Si trazamos la recta AB, es evidente que por esta recta AB podrá pasar un plano; y si hacemos girar este plano alrededor de la misma recta, llegará á pasar por el tercer punto; luego por tres puntos que no están en línea, puede pasar un plano. La segunda parte de la proposición se infiere de la construcción anterior; pues la posición del plano al pasar por el punto C, como al tocar en otro punto cualquiera situado fuera de la recta AB, es única, y no habrá más que un solo plano que pase por A, B, y C. Sin embargo, daremos una demostración más concluyente. Concibamos que por los tres puntos pasen dos planos, y tracemos las rectas AB y AC. Estas dos rectas estarán enteramente en los dos planos, porque cada una tiene dos puntos en ellos. Tomemos ahora un punto cualquiera Den

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uno de los planos, y dirijamos en este plano una recta DEF, de modo que corte á las dos rectas AB y AC, lo que es posible por hallarse las rectas AB y AC en los dos planos. Los puntos Ey Festán en los dos planos; luego la recta DEF estará enteramente en los dos planos, y, por tanto, el punto D se halla en los dos planos. Así se demuestra que todo punto, cualquiera que éste sea, de uno de los planos es también punto del otro, ó que los dos planos tienen todos sus puntos comunes; luego forman un solo plano. De esta proposición se infiere: 1.° Dos rectas que se cortan determinan la posición de un plano; pues señalando en cada una de ellas un punto diferente del punto común tendremos tres puntos que no están en línea recta, y por estos tres puntos puede pasar un plano que contendrá á las dos rectas. Otro plano que pase por estas dos rectas contendrá á dichos tres puntos, y por consiguiente coincidirá con el primero.

2.° Un punto y una recta determinan un plano; pues considerando dos puntos de la recta los elementos dados equivalen á tres puntos no st tuados en línea recta, que ya sabemos determinan un plano.

3.°

Dos rectas paralelas determinan la posi ción de un plano; en efecto, según la definición

de las paralelas, estas dos rectas están en un mismo plano. Si otro plano pasa por las mismas paralelas, señalando dos puntos en la una y un punto en la otra, los dos planos tendrán tres puntos comunes, y por tanto coincidirán.

4. La intersección de dos planos es una recta; pues si no fuese recta, se podrían señalar en ella tres puntos no situados en línea recta por los cuales pasarían los dos planos, y por tanto estos planos coincidirían, contra lo supuesto.

Generación del plano. - El plano, como toda superficie, se engendra por el movimiento de una línea determinada que se mueve con arreglo á una ley dada. La recta es la línea más propia para la generación del plano.

Si una recta se mueve pasando siempre por un punto fijo y apoyándose constantemente en una recta fija, engendra un plano. Pues una cual- · quiera de las posiciones de la generatriz, y por tanto todas ellas, estará situada en el plano de terminado por el punto y recta dados ó direc

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su posición primitiva, dicha recta móvil engendra un plano. En efecto, el plano ABEF, determinado por las dos paralelas extremas AB é EF, y el plano ABCD, determinado por la recta AB y por cualquiera CD de sus posiciones interme. dias, tienen comunes las dos rectas AB y MR: luego ambos planos coinciden; por tanto, todas las rectas AB, CD, EF, están en el plano ABEF, y así queda demostrado que la recta AB, recorriendo la MR y conservándose siempre paralela á su posición primitiva, engendra un plano.

Ecuación del plano. - Consideremos el plano engendrado por una recta que se mueve apoyándose sobre otra y conservandose constantemente paralela á sí misma.

Supongamos que la recta directriz tenga una posición cualquiera, y que la dirección de la generatriz sea también cualquiera conocida, con cuyos datos el plano quedará completamente determinado. Sean x=az+a, y=b+ẞ las ecua ciones de la directriz, x', y', z' las coordenadas de un punto cualquiera de esta recta, las cua. les satisfarán las ecuaciones anteriores, y tendre

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ficientes, como tres condiciones geométricas simples (tres puntos, un punto y una recta, etc.) determinan gráficamente el plano.

Si supusiéramos engendrado el plano de otro modo ó determinado por otras condiciones, siem• pre encontraríamos para ecuación del plano una ecuación de primer grado con tres variables.

Recíprocamente, toda ecuación de primer grado, con respecto á las coordenadas, tiene por lugar geométrico una superficie plana.

La ecuación general de primer grado con tres variables es A+By+Cz+D=0. Se demostraría que esta ecuación representa un plano haciendo ver que una recta que tiene dos puntos comunes con la superficie representada por ella está toda entera contenida en la misma. Pero también se puede seguir el siguiente procedimiento:

Si se hace y en la ecuación dada, la ecuación resultante, Ax+C+D=o, representará la intersección de la superficie propuesta con el plano az, de modo que esta intersección ó traza es una recta. Del propio modo, las trazas de la superficie respecto de los planos yz y y se obtendrán haciendo sucesivamente o yo en la ecuación dada, y resultan las rectas

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Pero estos últimos valores prueban que se tiene para este punto By+C+D=0, ó sea que sus coordenadas satisfacen á esta ecuación, ó que pertenece a la traza de la superficie respecto del plano de las yz. Se puede, pues, considerar la superficie en cuestión como engendrada por el movimiento de una recta que resbala paralelamente á sí misma apoyándose constantemente en una recta fija. La ecuación Ax+By+C+D=0,

representa, por tanto, un plano.

El plano representado por esta ecuación general de primer grado con tres variables corta los tres ejes de coordenadas; pues haciendo en ella sucesivamente dos de las variables iguales á ce

ro, se encuentra

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(1)

Pero estos valores en el origen del P, 7, y r; de modo' D

que

representan las coordenadas plano, á las que llamaremos tendremos

p = = =

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- = - - - - ) (2) Eliminando entre las cuatro ecuaciones (1) y (2) las tres variables x', y', ', resultará la ecuación

(b−n)x+(may

+(an ~ bm)z + ẞ( a − m ) -- a(b − n) = 0;

y pues x, y, z son las coordenadas de la generatriz considerada, y esta generatriz es una cualquiera, la ecuación que acabamos de hallar nos da la relación entre las coordenadas de un punto cualquiera del plano, ó es la ecuación del plano.

Llamemos, para abreviar, A, B, Cá los coeficientes de las variables de esta ecuación y D al término independiente de dichas variables, y la ecuación del plano será

Ax+ By + Cz+D=0.

Si dividimos esta ecuación por cualquiera de los coeficientes no quedarán en ella más que tres coeficientes independientes, y por tanto un plano quedará determinado analiticamente por tres ecuaciones distintas entre los datos y dichos coe

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Si falta una de las variables, la ecuación representa un plano paralelo al eje correspondiente á esta variable. Ax+By+D=o, representa un plano paralelo al eje de las zz. Si faltan dos variables la ecuación representa un plano paralelo al de los ejes á los que se refieren las variables que faltan. Ax+D=o representa un plano paralelo al yz. Cuando un plano pasa por el origen, su ecuación debe quedar satisfecha por las coordenadas de éste, x=0, y=0, z=0; luego será =0, y la ecuación toma la forma

Ax+By+Cz=0.

Representación de un plano. - La representa.

ción de un plano con arreglo á un sistema cualquiera de proyección, se hace representando los elementos geométricos necesarios para la determinación de éste. De modo que un plano quedará definido, y puede considerarse, por tanto, representado, cuando se dan: tres puntos que no se hallen en línea recta; una recta y un punto fuera de ella; dos rectas que se cortan ó que sean paralelas; una cualquiera de sus líneas de máxima pendiente respecto de cualquiera de los planos de proyección, si el sistema empleado es el de Monge. En la representación de un plano por dos rectas se considera muy especialmente en dicho sistema el caso en que éstas sean sus trazas ó intersecciones con los planos de proyección. V. TRAZAS.

II SUPERFICIES CURVAS. Toda superficie que no sea plana ni se componga de varias superficies planas, se llama curva. La superficie curva admite infinidad de formas; una línea puede moverse de infinitas maneras, y en cada caso engendra una superficie distinta; y como las líneas son infinitas, también, en atención á la que de éstas se tome como generatriz, la variedad de superficie será inacabable. Veamos si estas superficies pueden distribuirse en grupos ó fa milias; si pueden clasificarse.

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Ateniéndose á la línea que las engendra y á la ley de su movimiento, se establecen algunos grupos naturales de curvas, tales como los de las superficies regladas y de revolución, de que nos ocuparemos. Esta clasificación es incompleta y deficiente; pero los pocos grupos que se caracterizan bien en ella comprenden las superficies de más uso en la práctica, y de aquí su importancia.

Superficies regladas: desarrollables y alabeadas. - Toda superficie que se puede suponer engendrada por el movimiento de una línea recta se llama superficie reglada. Esta clase de superficies se divide en dos grupos, según que la recta se mueva de manera que cada dos de sus posiciones consecutivas se hallen en un plano, ó que no suceda así.

En el primer caso la superficie se llama desarrollable, y en el segundo alabeada.

De modo que superficie desarrollable es la engendrada por una línea recta que se mueve de manera que dos posiciones sucesivas están en un plano. De esta definición se infiere que pueden existir tres clases diferentes de superficies Clasificación de las superficies. - La primera desarrollables: 1. aquellas cuya generatriz perdivisión que hay que hacer de las superficies manece siempre paralela á sí misma, ó lo que es curvas es en geométricas y arbitrarias. Las geo. igual, á una recta fija, las cuales reciben el nom métricas son aquellas cuya generación obedece ábre de cilindricas (V. CILINDRO); 2. aquellas una ley definida, y las arbitrarias las que no obedecen en su generación á ley definida alguna, ya por intervenir una voluntad libre, ya por ser desconocida la expresión analítica de dicha ley. Las superficies geométricas se dividen en geométricas propiamente dichas, físicas y mecánicas, según se definan por una ley geométrica, física ó mecánica. De las primeras, en cuyo grupo están la mayoría de las que se estudian, citaremos, como ejemplo bien conocido, la esfera; de las segundas, las superficies de onda; de las terceras, las superficies de nivel ó equipotenciales. Aquí nos referiremos principalmente à las geométricas propiamente tales.

Las superficies curvas pueden ser cerradas ó de hojas indefinidas.

La clasificación más racional de las superficies geométricas es la que toma por base su ecuación, ó sea la expresión analítica de la relación constante entre las coordenadas de un punto cualquiera de la superficie; porque cualquiera que sean los ejes coordenados á que se refieran, ni la naturaleza de la ecuación ni el grado de ésta se alteran; es, pues, éste un carácter esencial. En virtud de esto, la primera división que se hace de las superficies es en algebraicas y trascendentes, según que la ecuación que las representa sea algebraica ó trascendente. Las superficies algebraicas se subdividen en grados, según el de la eenación correspondiente. Así, las superficies de primer orden ó de primer grado son las representadas por la ecuación general de primer grado con tres variables Ax+By+Cz+1)=o, que ya hemos visto que es la superficie plana ó plano, única en su género. Las superficies de segundo orden ó grado son las representadas por la ecua ción general de segundo grado con tres variables Ax2+ A'y2+ A'2+2Bxy+2B'xz + 2B' ' yz +20% 20'y+20"+D=0.

En ella se comprenden cinco clases de superficies, á saber: clipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, paraboloide eliptico y paraboloide hiperbólico, cuyo estudio particular queda hecho en los artículos correspondientes. Las superficies de órdenes superiores son las representadas por las ecuaciones generales con tres variables de los grados correspondientes. En estos órdenes superiores al segundo, la descripción de las diferentes familias de curvas comprendidas en cada uno está por hacer. Como carácter propio de las superficies de un orden dado, diremos que una superficie del orden m no puede ser cortada por un plano, sino según una línea á lo más del grado m; porque si se toma el plano secante para plano de las ay y se hace después zo en la ecuación de la superficie, se tendrá la ecuación de la sección por el plano, que será, & lo más, del grado m, y que una recta no puede encontrar á una superficie del orden m en más de m puntos; porque si se toma la recta dada para eje de las y se hace después en la ecuación resultante yo y z=0, se tendrá una ecuación que será, á lo más, del grado m, y que

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cuyas generatrices rectilíneas se cortan en un un mismo punto, las cuales se denominan cónicas (V. COÑO); y 3.a aquellas cuya generatriz se mueve de modo que los encuentros sucesivos de cada una de sus posiciones con la anterior y la posterior son puntos diferentes. Algunos autores designan estas superficies con el nombre de piramoidales, pero de ordinario se llaman superficies desarrollables en general, sin nombre particular alguno. El punto por donde pasan todas las generatrices de una superficie cónica se llama vértice, y las intersecciones sucesivas de las generatrices de las superficies desarrollables de la tercera clase constituyen una curva que se llama arista de retroceso. Esta arista de retroceso se reduce à un punto, el vértice, en las superficies cónicas, y está en el infinito para las superficies cilíndricas.

El carácter esencial de las superficies desarrollables, consecuencia inmediata de su modo de generación, y al que deben su nombre, consiste en que pueden extenderse exactamente sobre una superficie plana.

Si consideramos una curva alabeada y trazamos las diversas tangentes á la misma, el lugar geométrico de todas estas tangentes será una superficie desarrollable general, respecto de la cual la curva dada será la arista de retroceso. He aquí una manera de realiza la ley del movimiento que caracteriza las superficies desarro llables en general. En las cilíndricas quedará definido el movimiento con una directriz, en que deberá apoyarse la generatriz, además de la dirección constante que ha de tener ésta; y en las cónicas determinan asimismo el movimiento de la generatriz rectilínea una directriz y el punto fijo por donde necesariamente ha de pasar aquélla en todas sus posiciones.

Como carácter de las superficies desarrollables podemos decir también que todo plano tangente à una de éstas lo es en todos los puntos de la generatriz que por él pasa. V. TANGENTE.

Las superficies alabeadas, ó las engendradas por una recta que se mueve de manera que dos de sus posiciones consecutivas, por inmediatas que se las suponga, no están en un mismo plano, son esencialmente diferentes de las desarrollables. En estas últimas dos generatrices rectilíneas infinitamente próximas se cortan y determinan un elemento plano indefinido, elemento que es común á la superficie y al plano tangente, de suerte que éste toca á la superficie, no en un solo punto, sino en todos los de una línea recta indefinida, mientras que en las alabeadas el elemento superficial comprendido entre dos generatrices infinitamente próximas no puede ser plano por la ley misma que rige el movimiento de la generatriz, y el plano tangente, á pesar de contener, como en las superficies desarrollables, la recta que pasa por el punto de contacto, no toca á las alabeadas más que en un elemento superficial infinitamente pequeño en todos sentidos,

Veamos cómo puede realizarse la ley de gene

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Fig. 3 vértice común M, y respectivamente por directri ces las líneas By C. Es claro que las generatrices comunes á ambas superficies cónicas, tales como la MP, satisfacen à la condición de apo yarse á la vez sobre las tres directrices, y es evidente también que el número de las rectas que se hallan en este caso y parten del punto M es siempre finito. Por tanto el movimiento de la recta queda completamente definido, y bas ta repetir la operación en los diversos puntos de la línea A para obtener cuantas generatrices sean necesarias para representar la superficie. Esta será alabeada, á menos que no se haya escogido una de las directrices en condiciones especiales; porque si mp es la posición inmediata de la ge neratriz y tiramos las tangentes á las directrices en los puntos M, N y P, podemos suponer que la recta MP, al pasar á la posición mp, ha resbalado sobre estas tangentes, y sería preciso que éstas se hallasen en un plano para que también lo estuviesen MP y mp. Se puede reemplazar una de las directrices por un plano, al cual ha de permanecer paralela la recta móvil en todas sus posiciones. La determinación de las generatrices se hace entonces con la mayor sencillez; está reducida á cortar á las directrices por planos pa ralelos al plano dado y á unir por rectas los puntos de intersección correspondientes á cada uno de ellos. Estas rectas serán otras tantas posiciones de la generatriz, porque evidentemente satisfacen á las condiciones de la generación. La superficie será alabeada, porque los elementos de las directrices comprendidos entre dos planos paralelos al plano dado, é infinitamente proximos entre sí, serán rectas cualesquiera, y por tanto no situadas en un mismo plano; y otro tanto sucederá á las generatrices que sobre estos elementos se apoyen.

El plano dado, al cual ha de permanecer cons tantemente paralela la recta móvil que engen dra la superficie, toma el nombre de plano di rector.

En vez de un plano director pudiera adoptarse para definir el movimiento de la recta, un cono, á cuyas generatrices hubiesen de ser respecti vamente paralelas cada una de las de la super

ficie.

Las líneas que dirigen el movimiento de la generatriz pueden reemplazarse por superficies a las que ha de quedar aquella tangente en todas sus diversas posiciones. Los diversos sistemas que acabamos de indicar, y otros muchos que pudieran agregarse, para engendrar las superti cies alabeadas, no sirven para hacer una clasifi cación metódica de todas ellas, y una superficie engendrada por uno de los medios precedentes puede también definirse por otros varios muy diferentes entre sí. Señalaremos, sin embargo, entre ellas algunos grupos y superficies espe ciales.

Los conoides, por ejemplo, son las superficies alabeadas que tienen una directriz rectilínes y un plano director; la segunda directriz puede ser otra curva cualquiera ó una superficie, ó bien ser reemplazada por otra condición. Cuando la recta directriz es perpendicular al plano director, se dice que el conoide es recto; en los demás casos se llama oblicuo.

Considerando el sistema general de engendrar

las superficies alabeadas por medio de tres directrices, el caso más sencillo que puede presentarse es evidentemente aquel en que estas directrices son líneas rectas. La superficie entonces engendrada toma el nombre de hiperboloide de una hoja, que es también una de las superficies de segundo grado, según indicamos. Entre los conoides el más sencillo también es aquel que tiene por segunda directriz una línea recta, superficie que coincide con la denominada paraboloide hiperbolico entre las de segundo grado. Superficies de revolución. - Llámanse así las superficies engendradas por una línea cualquiera que gira alrededor de una recta fija. Esta recta fija se denomina eje de la superficie; todo plano que pasa por el eje se llama plano meridiano, y la sección que éste produce en la superficie curva meridiana ó simplemente meridiana.

Cada uno de los puntos de la generatriz describe en su movimiento una circunferencia de círculo cuyo plano es perpendicular al eje y cuyo centro se halla en este mismo eje, denominándo se dichas circunferencias paralelos de la superficie. El mayor de éstos, en el cual se verifica que en cualquiera de sus puntos la tangente á la meridiana es paralela al eje se denomina ecuador, y el menor, si satisface à igual condición y su radio no es nulo, círculo de garganta.

También puede suponerse engendrada una superficie de revolución por una circunferencia de círculo cuyo centro recorre una recta fija perpendicular á su plano y cuyo radio sea sucesivamente igual á las distancias que haya desde esta recta á los diversos puntos de una curva, que es la que antes tomábamos como generatriz, la cual permanece fija en este nuevo sistema de generación, convirtiéndose, por tanto, en directriz. Y aquí tenemos un ejemplo en el cual la genera. triz varía de magnitud en sus diferentes posi

ciones.

No es fácil hacer una clasificación de las superficies de revolución, pues la línea generatriz que gira alrededor del eje puede ser cualquiera. Citaremos, sin embargo, por ser las más importantes, las engendradas por la recta y la circunferencia. Si la generatriz de una superficie de revolución es una línea recta, podrá ocupar ésta respecto del eje tres posiciones distintas, según que lo corte, ó que sea paralelo á él, ó por fin que se crucen ambas líneas, es decir, que no se encuentren en el mismo plano. En el primer caso la superficie engendradada será un cono de revolución; en el segundo un cilindro, y en el tercero un hiperboloide de revolución de una hoja. Si la generatriz es una circunferencia y el eje pasa por el centro, la superficie engendrada se llama superficie esférica ó esfera; y si el eje es exterior á la circunferencia generatriz, se engen. drará la superficie anular llamada toro.

Superficies de segundo grado. - No es este grupo absolutamente distinto de los anteriores, pues en él encontramos superficies desarrollables, alabeadas y de revolución; pero es más determinado y definido que los anteriores, por estar perfecta mente caracterizado analíticamente. Compréndense en él, según sabemos y hemos dicho, las superficies representadas por la ecuación general de segundo grado con tres variables, que ya hemos dado anteriormente.

Las superficies de segundo grado son en nú mero de cinco: tres con centro, á saber: el clipsoide, el hiperboloide de una hoja y el hiperboloide de dos hojas; y dos sin él, el paraboloide elíp. tico y el paraboloide hiperbólico. De cada una de estas superficies, con los casos particulares que comprenden, queda hecho el estudio en su lugar correspondiente.

Propiedades generales de las superficies curvas. Así como una curva se puede considerar como un polígono infinitesimal, del propio modo una superficie se puede considerar como un poliedro que consta de un número infinito de caras planas infinitamente pequeñas; y así considerada, se le designa con el nombre de poliedro infinitesimal. El plano de cada cara formará con las prolongaciones de los que corresponden á las caras contiguas ángulos que serán infinitamente pequeños, puesto que la superficie es continua. Estos ángulos se designan, como sus análogos en las líneas curvas, con el nombre de ángulos de contingencia.

Estos elementos planos infinitesimales, supuestos prolongados indefinidamente, constituyen los planos tangentes á la superficie, que también son el lugar geométrico de las tangentes á todas

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las curvas trazadas en la superficie por dicho elemento infinitesimal ó punto. V. TANGENTE. Llámase normal à una superficie la perpendicular al plano tangente en dicho punto, y planos normales todos los que pasan por esta recta, que serán perpendiculares al tangente.

vas.

Ecuación y representación de las superficies curvas. - Ya dimos al principio el procedimiento general para hallar la ecuación de una superficie referida á tres ejes coordenados. Como ejemplo, ya que no podamos considerar todas las clases de superficies descritas, vamos á hallar la ecuación de las superficies de revolución, para lo cual consideraremos éstas engendradas por una circunferencia que se mueve perpendicularmente á una recta fija ó eje, conservando su centro en ésta, y cuyo radio varía como las distancias de los puntos de una curva directriz á dicho eje. Sean =az+P, y=bz+q, las ecuaciones de la recta fija ó eje. Para representar la circunferencia generatriz supondremos que proviene de la intersección de un plano perpendicular al eje y de una esfera de radio variable que tiene por centro fijo un punto del eje, aquel en que éste encuentra al plano de las y por ejemplo, de modo que las ecuaciones de la generatrz serán las del plano y esfera dichos

sus planos normales, cada dos de éstos se cortarán respectivamente según rectas cuyo conjunto formará una superficie desarrollable, puesto que, consideradas estas rectas como posiciones diversas de una generatriz, cada dos consecutivas se encuentran en un plano. Generalizando, Si en una superficie cualquiera se trazan di- siempre que una superficie se mueva según una versas cuerdas paralelas, la superficie lugar geo- ley fija, de modo que las intersecciones sucesi métrico de los puntos medios de las mismas vas de sus diversas posiciones se hallen infinitarecibe el nombre de superficie diametral, conju- mente próximas, satisfaciendo á la ley de congada con el sistema de cuerdas paralelas á quie-tinuidad, engendrará otra superficie. Toda sunes biseca. La forma de las superficies diametra perficie de revolución se puede considerar como les y el grado de las ecuaciones que las represen- el lugar geométrico de las intersecciones sucetan, cuando son geométricas, dependen siempre sivas de las posiciones diversas de una esfera de la forma y grado de la ecuación de la super- cuyo centro recorre el eje de dicha superficie y ficie á que pertenecen. Las superficies diametra- cuyo radio varía como los de los paralelos. En les de las de segundo grado se denominan pla- este sistema de generación se llama superficie nos diametrales, y cuando uno de éstos es per- involuta la que se mueve, y la engendrada por pendicular á las cuerdas que busca se le designa ésta envolvente, denominándose característica la con el nombre de plano diametral principal ó línea intersección de dos involutas consecutiplano de simetría. La recta intersección de dos planos diametrales de una superficie recibe el nombre de diámetro, y si aquellos son principales el de eje. Los puntos de intersección de un eje con la superficie se llaman vértices, siempre que en dichos puntos exista en ella continuidad. En el caso en que todos los diámetros de una superficie se encuentren en un solo punto, éste recibe el nombre de centro; de manera que centro de una superficie es el punto en que quedan divididas en dos partes iguales todas las cuerdas que por él pasan. Si en una superficie trazamos una curva arbitraria, y en los diversos puntos de ésta levantamos las correspondientes normales, el lugar geométrico de todas ellas es la que se denomina superficie normal. La forma de una superficie normal á otra, no sólo depende de la forma de ésta, sino también de la que tenga la línea en cuyos puntos se tracen las respectivas normales. Cuando la superficie es desarrollable y la línea elegida es una generatriz rectilínea, la superficie normal en los diversos puntos de esta generatriz será un plano, porque todas las normales que la determinan son perpendiculares al plano tangente, que es siempre el mismo á lo largo de aquélla. Si la superficie propuesta fuese alabeada y la línea trazada en ella una generatriz rectilínea, como en el caso anterior, la superficie normal sería otra superficie también alabeada, que se designa con el nombre de paraboloide hiperbólico. Si la superficie es de revolución y la línea escogida en ella un paralelo, se obtiene para superficie normal un cono de revolución del mismo eje. Cuando sea una meridiana la curva, es evidente que la superficie normal será el plano meridiano. Por fin, si la superficie dada es esférica, para cualquiera línea que sobre ella se trace, la superficie normal será un cono cuyo vértice coincidirá siempre con el centro de la esfera. Este cono será de revolución cuando la curva elegida sea un paralelo: se reducirá á un plano si fuese una meridiana, y en el caso general será una superficie cónica cuyo vértice sea el centro de la esfera y su directriz la curva ele. gida.

(1)

(2)

ax+by+z = d

(x − p)2+(y-q)2 + z2 = R2. Sean, por fin,

$f(x,y,z) = 0 ( p(x,y,z)=0 las ecuaciones de la curva directriz.

Los únicos parámetros variables aquí son d y R2, cuyos valores determinan en cada momento la posición de la generatriz. Cualquiera que sea la naturaleza de la curva directriz se podrán eliminar las variables x, y, z entre los grupos de ecuaciones (1) y (2), y haciendo esta eliminación se hallará entre los parámetros arbitrarios dy R la relación

F(d, R2)=0.

(3)

Esta relación expresa la condición que liga á dy R cuando sus valores simultáneos corresponden á una generatriz de la superficie propuesta. Eliminado, pues, d y R2 entre las ecuaciones (1) y (3), se tendrá la ecuación de las superficies de revolución, cuyo tipo general será el siguien

te:

F(ax+by+z,(x − p)2 + ( y − q )2 + z2 ) =o. (4) Si de la ecuación (3) se saca R=4(1), se puede poner esta ecuación (4) bajo la forma

Diferentes sistemas de generación de las superficies curvas. El procedimiento más generalmente usado para engendrar las superficies consiste en el movimiento de una línea con arreglo á una ley dada, y la ley de este movimiento de fínese comúnmente obligando á la generatriz á apoyarse en otras líneas dadas, que se llaman directrices, según hemos dicho. Pero no es esta (x − p)2 + (y − q )2 + z2 = 4(ax+by+z). la única manera de definir el movimiento de la generatriz, pues puede regularse dicho movi- La ecuación de las superficies de revolución miento de otros modos. Así, por ejemplo, ante- toma una forma mucho más sencilla cuando el riormente hemos considerado las superficies nor- eje de la superficie coincide con el eje de las . males en las que el movimiento de la generatriz Se puede considerar el círculo generador como se fija por la condición de permanecer normal á procedente de la intersección del cilindro variauna superficie en los diferentes puntos de unable a2+y=R2 y del plano z=d. La ecuación curva cualquiera trazada en ella; del propio mo- (3), F(d, R2)=0 6 12=4(d), da entonces para do, si una recta se mueve conservándose constan- ecuación de la superficie temente tangente á una curva alabeada, el lugar geométrico de sus posiciones será una superficie desarrollable respecto de la cual será la curva dada la arista de retroceso. Además de este sistema de generación de las superficies por medio de líneas que se mueven según condiciones fijas de antemano, puede establecerse otro; las superficies pueden engendrarse por el movimiento de otras superficies, como las líneas, según dijimos, se engendran por las intersecciones sucesivas de otras líneas que se mueven con arreglo á una ley definida. Así, por ejemplo, si por los puntos consecutivos de una curva cualquiera se trazan

F(x,x2,y2)=o ó x2+ y2=¥(z). Donde se ve que toda ecuación que da para la suma de los cuadrados de las dos variables ré y una función de , representa una superficie de revolución alrededor del eje de las zz.

Consideremos, por último, el caso en que sienla directriz es la traza de la superficie sobre el do como antes el eje de las eje de la superficie, plano de las 2. En tal caso las ecuaciones de esta curva directriz, que es una meridiana, son

y=o, fr, 2)=0.

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y como son directamente opuestas su suma al-
gebraica será

dp_\dxdydz;

dx)

ecuación que se obtiene inmediatamente reem-
plazando en la ecuación de la meridiana de la
superficie en el plano de las az, a por √x2+ y2.
La representación gráfica de las superficies por
medio de dos planos de proyección se hace de-
terminando las proyecciones de los elementos
las presiones sobre las otras cuatro caras tienen
necesarios para obtenerla, ó sea las de las direc-
una dirección perpendicular; las fuerzas exterio-
trices, supuesta conocida la ley de la generación, res al fluido que obran sobre el elemento consi-
pues con tales elementos se podrán obtener derado, cuya masa es pdxdydz, dan una resul-
cuantas posiciones se quieran de la generatriz.
tante que, proyectada sobre el eje de las 2, es
Si se quiere formar idea de la forma de la super-pXdxdydz; luego, en primer término, tendremos
ficie, se construyen unas cuantas generatrices la ecuación
convenientemente distribuídas. También contri-
buyen a aclarar la configuración de una superfi-
cie el trazado de las líneas que limitan las pro-
yecciones horizontales ó verticales ó contornos
aparentes sobre los planos horizontal y vertical,
así como las trazas sobre estos planos, si las
tiene.

Así, una superficie de revolución quedará perfectamente representada por su eje, que supondremos perpendicular al plano horizontal, su meridiana principal ó sección producida por un

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plano meridiano paralelo al vertical de proyec ción, y la proyección horizontal de su ecuador, como aparece en la fig. 4.

- SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL: Fis. Se llama así aquella cuyos puntos todos tienen el mismo potencial; se la llama algunas veces también superficie de nivel, por más que este nombre sólo se puede aplicar en rigor al potencial debido á la acción de la gravedad, es decir, á las superficies de separación de dos fluidos materiales. Consideremos primero las superficies equipotenciales en los fluidos; sabemos que potencial es la energía que posee un cuerpo ó fluido cualquiera, material ó inmaterial, para producir una acción mecánica cualquiera, cuando esta energía se encuentra en estado latente. Sean x, y, z las coor

denadas de un vértice cualquiera, de un paralele. pípedo rectángulo infinitamente pequeño en todos sentidos, con relación á tres ejes rectangulares X, Y, Z; p la presión de este fluido en el punto considerado; dm su masa y p su densidad, es decir, la relación de la masa contenida en este volumen infinitamente pequeño, al volumen mismo; Xm, Ydm, Zdm serán las componentes, paralelas á los ejes, de la fuerza que obra sobre cada masa elemental dm tomada alrededor de dichos puntos, que llamaremos A; supondremos que X, Y, Z varían de una manera continua al pasar de un punto al otro, de modo que todas las masas contenidas en el volumen considerado reciban la acción de fuerzas que, referidas à la unidad de masa, tenga por componentes X, Y, Z, y consideremos el fluido como homogéneo, en una extensión infinitamente pequeña, alrededor de 4; todas las fuerzas que obran sobre el volumen infinitamente pequeño dadydz pasan por su centro de gravedad, porque las presiones que sufre del exterior están aplicadas á los centros de sus caras y son normales á ellas, por

ó bien

pXdxdydz - _dp_dxdydz=0,

dx

dp

-= ρΧ, dr

(1)

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leyes de Mariotte y Gay-Lussac, dentro de los límites en que son aceptables,

kp
p=.
1 + at

siendo a el coeficiente de dilatación, t la tempe
ratura, y Ky k designando constantes, y en-
tonces se tendría una de las dos ecuaciones
dp
- Xdr+Ydy+Zing

kp

ó bien

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y como p es función de C" solamente, i también estará expresada por una sola variable. Toda superficie de nivel corta normalmente en cada uno de sus puntos à la resultante de las fuerzas Xam, Ydm y Zdm que obran sobre este punto; porque si (x, y, z) y (x+dx, y+dy, z+dz) son las coor denadas de dos puntos infinitamente próximos, tomados sobre una misma superficie de nivel, siendo X, Y, Z las componentes de la fuerza re feridas á la unidad de masa que obra sobre el finido en las inmediaciones de estos puntos, se deduce, como lo hemos hecho, que en primer termino

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y si Res la resultate de X, Y, Z y a, los ángulos que forma con los ejes de las x, y, z, ds la distancia de los dos puntos, y a', by c' los án gulos que ds forma con los mismos ejes, sabemos que

X=R cosa; Y= R cos b; Z= R cosc; dx=ds cos a'; dy = ds cos b', y dz=ds cose, de donde, multiplicando ordenadamente la pri mera con la cuarta, la segunda con la quinta y la tercera con la sexta ecuaciones, y sumándolas después, se obtiene la siguiente:

Xdx+ Ydy+Zd:= Rds

(cos a cos a' + cos b cos b'+ cos e cose')=0; (6) y como la cantidad entre paréntesis precisamen. te es el coseno del ángulo que forman Ryds, y como ni R ni ds pueden ser cero, y tiene que serlo el otro factor, resulta que este coseno es nulo, y por tanto el ángulo recto, es decir, que Ryds son normales; y como ds tiene una dirección jor, puede tenerlas todas, R ha de ser forzosacualquiera dentro de la superficie de nivel, ó me

lo mismo que decir que ha de ser normal à la superficie; pero hay que observar, y esto es muy importante, que aun cuando Xdr+ Yây+Zz no fuese una diferencial exacta de una función de x, y, z, habría siempre en el fluido una familia de superficies definidas por la ecuación pt', siendo C constante, que cortarían á las resultan ortogonalmente, puesto que en la demostración tes de las fuerzas que obrasen en cada punto de esta propiedad para nada hemos supuesto la condición impuesta en un principio. De lo dicho se desprende que, puesto que en los líquidos no obra otra fuerza que la acción de la gravedad, la resultante de todas las fuerzas es vertical, y por tanto las superficies equipotenciales ó de ni vel serán horizontales, ó más generalmente dichas superficies, considerándolas cerradas, se aproximarán á la forma esférica que tiene la

mente normal á todas estas direcciones, que es

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los, de modo que el polo S, más próximo á N, se imanará de un modo contrario que éste y vi ceversa, sucediendo algo analogo respecto del polo S, de modo que ns sufre dos acciones de cada polo, una atracción sa de s hacia N, una repulsión próximamente igual á la anterior, pero de sentido contrario nr, al propio tiempo que el polo S ejerce en n una atracción nA, y sobre s una repetición SR igual á la anterior y de sentido opuesto, cuyas fuerzas dan dos resultantes, py p', iguales, paralelas sensiblemente y de sentidos opuestos; constituyen, pues, un par que hará girar á la aguja hasta colocarse en una dirección determinada, la que nos indicará la dirección de las fuerzas magnéticas en el punto considerado; si se hace pasear la aguja en el campo magnético del imán, su posición de equilibrio en cada punto indicará la dirección de las fuerzas magnéticas en dicho punto, y uniendo por un trazo continuo todos los puntos que representan posiciones sucesivas y no interrumpidas de la aguja, se obtendrá una línea que se llama linea de fuerza, habiendo tantas líneas de fuerza cuantos caminos pueda seguir la aguja en las direcciones indicadas, deduciéndose de la definición misma que la tangente, en cualquier punto de una línea de fuerza, indica la dirección de la acción magnética en este punto; de estas indicaciones y de la definición de superficies equipotenciales, después de lo que antes hemos demostrado para los fluidos, independientemente de las condiciones materiales de éstos, bastando para ello sustituir la palabra presión por la de fuerza, se deduce que las superficies equipotenciales son siempre normales á las líneas de fuerza (ecuación 6), así como que dos superficies equipotenciales no pueden cortarse, pues si una de ellas está representada por f (x, y, z)=C otra lo estará por ƒ (x, y, z)=C'' ó por

f(x, y, z)=C+dC,

y en ningún caso pueden estas ecuaciones tener soluciones comunes; pero en cambio, como la ecuación f (x, y, z)=C puede tener raíces múltiples, se deduce que una superficie equipotencial puede cortarse á sí misma varias veces; y como la intersección de una superficie consigo misma ó con otra es una línea, podrá haber líneas de equilibrio, así como puntos de equilibrio, si una rama de una superficie equipotencial es tangente á otra en un punto.

a

Si en lugar de considerar un imán estudiamos lo que sucede en una corriente fija, respecto á otra móvil, veremos que también se encuen tran líneas de fuerza, y por consiguiente pueden existir, y existen realmente, superficies eléctricas equipotenciales que gozan de las mismas propiedades demostradas para las magnéticas, y no puede ser de otro modo; pues si las líneas de fuerza no fueran normales à dichas superficies, la electricidad marcharía en el sentido que marcase la inclinación de la línea de fuerza; la superficie de un conductor en equilibrio es una superficie equipotencial, sin lo que el equilibrio no existiría. Toda línea trazada en una superficie equipotencial es una línea equipotencial ó de igual potencia en todos sus puntos. Gebhard ha determinado las líneas equipotenciales por medio de anillos de cobre movibles, y Adams ha trazado dichas líneas sobre conductores atravesados por una corriente, haciendo uso de un galvanómetro cuyos dos polos se paseaban por puntos distintos de un conductor, hasta que la aguja no sufría desviación; á este efecto unía un galvanómetro Thomson á una punta que establecía el contacto fijo con una hoja de estaño, y con un

pequeño tubo que se pasaba por la superficie de la hoja; cuando el galvanómetro quedaba inmóvil se señalaba la posición del electrodo móvil apoyado sobre una aguja retenida por un pequeno muelle en el interior de este electrodo. Colocando los polos de la pila sobre una hoja de estaño de 31 centímetros de lado en PP' (fig. an.

terior), á 12 centímetros uno de otro y equidis1 tantes del centro O, se obtuvo una figura semejante á la que representamos en la indicada.

rios cuerpos para formar otros nuevos ó separarse de un compuesto es también la distancia de sus elementos, que es la que determina aquella fuerza; de aquí que el punto de fusión ó solidificación de un cuerpo sea constante bajo presión constante, correspondiendo en rigor un punto de paso distinto para cada presión, por más que estas diferencias no podamos apreciarlas para pequeñas variaciones de presión, por lo imperfecto de los instrumentos de que disponemos para medir esas SUPERFINO, NA (de super, sobre, y fino): el por qué no baste para solidificar algunos cuerdiferencias de temperatura; esta acción explica adj. Muy fino.

El estudio de las líneas de fuerza, cuerpos magnético y eléctrico, y de las superficies y líneas equipotenciales, es sumamente interesante; mas no podemos entrar en él, pues nos alejaría mos mucho de nuestro objeto, bastando lo dicho para formarse idea de lo importante que ha de ser su examen en las aplicaciones prácticas.

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SUPERFUSIÓN; f. Fís. Fenómeno del descenso de temperatura de solidificación de los líquidos bajo la que le es normal de cambio de estado. Al ocuparnos de la solidificación de los líquidos ó paso de éstos al estado sólido, hemos dicho que cada cuerpo tenía un punto ó grado fijo de temperatura para cambiar de estado, y cuya temperatura ó punto de paso era la única á que se les podía tener en los dos estados que aquella limitaba; sin embargo, hay excepciones notables en el paso de líquido á solido de un cuerpo, excepciones que en rigor dejan de serlo si se recuerda que todo cambio de estado lleva en sí un cambio de volumen, y que la presión es factor muy im portante en el desarrollo de tales acciones moleculares. Con efecto, los sólidos se distinguen de los líquidos en que en éstos las fuerzas atractiva y repulsiva se equilibran sensiblemente, mientras que en los primeros domina siempre la atracción molecular; por otra parte, los líquidos son casi incompresibles, y al someterlos á presiones enérgicas la reacción es tan grande que se opone á la nueva fuerza que en ellos actúa con energía cada vez creciente, de modo que casi destruye aquel efecto, por más que siempre exista algo de concentración molecular; no es extraño, pues, que aumentando la presión convenientemente el volumen se reduzca, y al reducirse tome el cuerpo un estado nuevo, que es el que corresponde á la separación de sus moléculas, pudiendo decirse que lo que determina el estado sólido ó líquido de un cuerpo es la separación ó distancia interatómica de sus distintas partes, de la misma manera que lo que determina la afinidad de va

pos disponer las mezclas frigoríficas más intensas, el por qué para extraer ciertos jugos se hacen necesarias las grandes presiones producidas por la marmita de Papín, y el por qué hayan de utilizarse los cambios de presión en los cambios de estado. Sentados estos preliminares, fácil es saber en qué cuerpos se retardará el punto de solidificación; pues si á cada estado corresponde un volumen diferente, en todos aquellos cuerpos cuyo volumen es mayor en estado sólido que en el líquido bastará aumentar la presión, y, siendo los sólidos compresibles, al llegar al límite de resistencia á este efecto se romperá si el líquido tiene mayor volumen, pero se liquidará si á tal estado le corresponde un volumen menor. Presentada así la teoría, se ve muy clara la consecuencia; pero cabe la duda natural de que, siendo ley general la disminución de volumen con el paso de líquido á sólido, pueda estar de acuerdo esta teoría con lo que en realidad suceda, toda vez que para establecerla se haya partido de una hipótesis: la de que haya cuerpos cuyo volumen sea menor en estado líquido que en el sólido, hipótesis contraria á la ley establecida por la experiencia; mas, aparte de que, como demostramos, los hechos lo comprueban, el razonamiento también lo demuestra con toda claridad: los cuerpos sólidos pueden presentarse en estado amorfo o cristalizados; en el primer caso la agrupación de sus moléculas es irregular, no hay preferencia en la orientación, no hay esas atracciones polares que revelan el estado cristalino, debido á una fuerza que no conocemos, que puede ser el magnetismo, la electricidad ú otro estado vibratorio del éter, que aún no hemos sabido comprender; pero lo cierto es, que cuando un cuerpo cristaliza, es indudable que hay algo en su sér que le obliga á tomar esas formas regulares, siempre las mismas para un mismo cuerpo, y reducidas á cortísimo número de tipos en el infinito de la naturaleza, pareciendo que sucede con las moléculas de los cuerpos cristalizables lo que con el acero ó con un solenoide, que en tanto el primero no está imanado, ó no pasa por el segundo corriente alguna, su posición, suponiendo se les deja en libertad de moverse, es indiferente, pero desde el momento en que hay una fuerza magnética para el primero ó eléctrica para ambos se desarrolla la orientación polar, que les fija en posiciones determinadas; la orientación molecu lar de que venimos hablando es tan enérgica, la fuerza que la produce, cualquiera que ella sea, es tan poderosa, que no hay valla que se oponga en muchos casos á dicha acción; mas para esta orientación molecular el espacio de que dispongan las moléculas ha de ser mayor que el que necesitan en los cuerpos amorfos, por regla general, pues los sólidos regulares, y aun los que no reciben este nombre, pero todos de igual forma, no se agrupan muchas veces sin dejar espacios entre sus caras, y de aquí el aumento de volumen que en nuestra tesis anterior habíamos supuesto.

La experiencia, por otra parte, demuestra estos hechos; tomemos, por ejemplo, el agua; su máxima densidad, y por consiguiente su menor volumen, corresponden á 4o centígrados; la ley de variación de densidades la tenemos representada en la (fig. siguiente), á 0° le corresponde la ordenada (en esta curva las abscisas, contadas según OX, representan temperaturas; las ordenadas, paralelas á OY, volúmenes; y á partir de la horizontal inferior hasta la curva, y por tanto las mismas ordenadas, pero contadas á partir de la horizontal superior, pueden representar las densidades), que como se ve es mayor que la B que corresponde á 4° c., convirtiéndose la curva en recta en el punto A de tangencia, así como en C', que corresponde á 12°, punto en que también la curva se convierte en su tangente, teniendo en B la tangente horizontal; sentados estos precedentes, y después de lo que llevamos dicho, se puede deducir que, si se consiguiese, por una presión suficientemente enérgica, reducir el volumen ocupa

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